Question

已知直線l₁：x+y-3=0，l₂：x-y-1=0．
（Ⅰ）求過直線l₁與l₂的交點，且垂直于直線l₃：2x+y-1=0的直線方程；
（Ⅱ）過原點O有一條直線，它夾在l₁與l₂兩條直線之間的線段恰被點O平分，求這條直線的方程．

Answer 1

分析：（I）先求出直線的交點，然后根據垂直，斜率之積為-1，求出所求直線方程的斜率，即可求出直線方程；
（II）當斜率不存在時，不合題意；當斜率存在時，設所求的直線方程為y=kx，進而得出交點，從而知

3

k+1

+

1

1-k

=0，求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）由

x+y-3=0 x-y-1=0

得

x=2. y=1

∵所求的直線垂直于直線l₃：2x+y-1=0，∴所求直線的斜率為

1

2

，
∴所求直線的方程為x-2y=0．
（Ⅱ）如果所求直線斜率不存在，則此直線方程為x=0，不合題意．
所以設所求的直線方程為y=kx．
所以它與l₁，l₂的交點分別為(

3

k+1

，

3k

k+1

)，(

1

1-k

，

k

1-k

)．
由題意，得

3

k+1

+

1

1-k

=0．
解得k=2．
所以所求的直線方程為2x-y=0．

點評：此題考查了兩直線垂直的條件，交點坐標的求法等知識，有一定的綜合性，屬于中檔題．