Question

(12分) 已知橢圓C：，其相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線分別交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求證：；（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A、B和D、E，求的最小值。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)見(jiàn)解析   （Ⅲ）

（Ⅰ）由題意得：，∴，∴橢圓C的方程為。
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是橢圓C的左焦點(diǎn)，離心率，設(shè)是橢圓的左準(zhǔn)線，則：作于，于，
于軸交于點(diǎn)H（如圖），
∵點(diǎn)A在橢圓上，∴
==
∴，同理
∴。
方法二：當(dāng)時(shí)，記。則AB：
將其代入方程得
設(shè)，則是此二次方程的兩個(gè)根。∴，

 ①∵，代入①式得。②
當(dāng)時(shí)，仍滿(mǎn)足②式。∴。
（Ⅲ）設(shè)直線AB傾斜角為，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得
，，
當(dāng)或時(shí)，取得最小值。