Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，只需討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值點(diǎn)，求出極值．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．

解答：解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x1=-

1

3

，x2=1．
又∵當(dāng)x∈（-∞，-

1

3

）時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（-

1

3

，1）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
∴x1=-

1

3

與x₂=（1分）別為f（x）的極大值與極小值點(diǎn)．
∴f（x）_極大值=f(-

1

3

)=a+

5

27

；f（x）_極小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，-

1

3

）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞
∴當(dāng)f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時(shí)，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．
即a+

5

27

＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．