Question

設函數的圖象關于原點對稱，且f（x）的圖象在點p（1，m）處的切線的斜率為-6，且當x=2時，f（x）有極值．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證．

Answer 1

解：（1）由函數f（x）的圖象關于原點對稱，得f（-x）=-f（x）
∴，∴b=0，d=0．
∴，∴f'（x）=ax²+4c．
∴，即 ．∴a=2，c=-2．
（2），當x∈[-1，1]時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上為減函數，若x₁，x₂∈[-1，1]時，
．
分析：（1）由函數f（x）的圖象關于原點對稱，得f（-x）=-f（x）從而可求b=0，d=0；利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）把（1）求出的實數a、b、c、d的值代入函數中確定出解析式，當x∈[-1，1]時，f′（x）＜0，從而f（x）在[-1，1]上為減函數，進而可得結論．
點評：本題以函數的性質為載體，考查函數的解析式，考查利用導數確定函數的單調性，解題的關鍵是利用單調性確定函數的最值．