Question

如圖，以長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點A、C及另兩個頂點為頂點構造四面體．
（1）若該四面體的四個面都是直角三角形，試寫出一個這樣的四面體（不要求證明）；
（2）我們將四面體中兩條無公共端點的棱叫做對棱，若該四面體的任一對對棱垂直，試寫出一個這樣的四面體（不要求證明）；
（3）若該四面體的任一對對棱相等，試寫出一個這樣的四面體（不要求證明），并計算它的體積與長方體的體積的比．

Answer 1

分析：（1）如四面體A₁-ABC或四面體C₁-ABC或四面體A₁-ACD或四面體C₁-ACD；該四面體的四個面都是直角三角形；
（2）如四面體B₁-ABC或四面體D₁-ACD；該四面體的任一對對棱垂直；
（3）如四面體A-B₁CD₁；設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，其中四面體A-B₁CD₁的體積等于長方體的體積減去4個角上的三棱錐的體積即得．

解答：解：（1）如四面體A₁-ABC或四面體C₁-ABC或四面體A₁-ACD或四面體C₁-ACD；---（4分）
（2）如四面體B₁-ABC或四面體D₁-ACD；-------------------------（8分）
（3）如四面體A-B₁CD₁（（3分） ）；-------------------------（11分）
設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則

abc-4× 1 6 abc

abc

=

1

3

．---------（14分）

點評：本小題主要考查棱錐的結構特征、棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎知識，考查空間想象能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．