Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，側(cè)面SAB⊥底面ABCD，且SA＝SB＝AB＝BC＝2，AD＝1．

（1）設(shè)E為棱SB的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面SBC；

（2）求平面SCD與平面SAB所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證BC⊥AE，利用三線合一的性質(zhì)可得AE⊥SB，進(jìn)而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)向量公式即可求解．

證明：∵側(cè)面SAB⊥底面ABCD，

側(cè)面SAB∩底面ABCD＝AB，AB⊥BC，BC在平面ABCD內(nèi)，

∴BC⊥平面SAB，

又AE在平面SAB內(nèi)，

∴BC⊥AE，

又SA＝AB，在△SAB中，AE⊥SB，

又BC∩SB＝B，且都在平面SBC內(nèi)，

∴AE⊥平面SBC；

（2）依題意，以為原點(diǎn)，分別為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A﹣xyz，則
，

則，

設(shè)平面SCD的一個法向量為，

則，令，則，

易知平面SAB的一個法向量為，

∴，

∴平面SCD與平面SAB所成銳二面角的大小為．