【題目】已知函數
，
的導函數為
.
（1）試討論函數的零點個數；
（2）若對任意的
，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）先求函數的定義域，然后求函數的導數
，對
分類討論，將
的零點問題，轉化為直線
與函數
圖象的交點個數來求解出來.（2）構造函數
，將原問題轉化為
對
恒成立，先利用
確定的一個范圍，然后利用
的二階導數驗證在這個范圍內，
的最大值不大于零，由此求得的取值范圍.
解：（1）由題意得
的定義域為
，.
（i）當
時，
，此時沒有零點；
（ii）當
時，
，
的零點個數等于直線與函數圖象的交點個數，可知直線與函數圖象的相切點
，此時切線的斜率為
.
①當
，即
時，兩個圖象沒有交點，即函數沒有零點；
②當
，即
時，兩個圖象有兩個交點，即函數有兩個零點；
③當
，即
時兩個圖象有一個交點，即函數有一個零點；
④當
，即
時，兩個圖象有一個交點，即函數有一個零點.
綜上，當
時，函數沒有零點；
當或時，有一個零點；
當時，有兩個零點.
（2）設 
，
要使原不等式恒成立，則只要對恒成立，
所以
.
令
，則
.
由于“對恒成立”的一個必要條件是，即
.
當時，
，
，
所以
在
上單調遞減.
所以，
，從而在上單調遞減，則，
，
所以實數的取值范圍為
.
步步高達標卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點
為曲線上的動點，點
在線段
的延長線上，且滿足
，點的軌跡為
．
（1）求，的極坐標方程；
（2）設點
的極坐標為
，求△
面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，側面SAB⊥底面ABCD，且SA＝SB＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）設E為棱SB的中點，求證：AE⊥平面SBC；
（2）求平面SCD與平面SAB所成銳二面角的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C， AB=3，BC=5.
（1）求證：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（3）求點C到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某區“創文明城區”（簡稱“創城”）活動中，教委對本區
四所高中學校按各校人數分層抽樣，隨機抽查了100人，將調查情況進行整理后制成下表：
學校 |
|
|
|
|
抽查人數 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“創城”活動中參與的人數 | 40 | 10 | 9 | 15 |
（注：參與率是指：一所學校“創城”活動中參與的人數與被抽查人數的比值）假設每名高中學生是否參與”創城”活動是相互獨立的.
（1）若該區共2000名高中學生，估計
學校參與“創城”活動的人數；
（2）在隨機抽查的100名高中學生中，隨機抽取1名學生，求恰好該生沒有參與“創城”活動的概率；
（3）在上表中從
兩校沒有參與“創城”活動的同學中隨機抽取2人，求恰好兩校各有1人沒有參與“創城”活動的概率是多少？
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