Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點Q是線段PA上任一點，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC
又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC
∴PC⊥平面BDE，（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因為PA⊥底面ABC，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以點Q是線段PA上任一點都有
BD⊥DQ（8分）

（Ⅲ）不妨令PA=AB=1，有PB=BC=

2

計算得AD=

3

3

=

1

3

AC所以點Q在線段PA的

1

3

處，
即AQ=

1

3

AP時，PC∥QD，從而PC∥平面BDQ．（12分）