Question

【題目】已知點M，N分別是橢圓C：（）的左頂點和上頂點，F為其右焦點，，橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設不過原點O的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由，結合橢圓的離心率求解即可．

（Ⅱ）直線的斜率存在且不為0．設直線，，，，，聯立直線和橢圓，消去可得，，利用判別式以及韋達定理，通過，，的斜率依次成等比數列，推出，求出，，且，然后求解三角形的面積的表達式，求解范圍即可．

解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，由題可知，，

，，則，

又，

解得，，，

所以橢圓C的方程

（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0.

故可設直線，，，

聯立直線和橢圓，消去y可得，，

有題意可知，，

即，

且，，

又直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數列，所以，

將，代入并整理得，

因為，，，且，

設d為點O到直線l的距離，則有，

，

所以，

所以面積的取值范圍為