Question

【題目】對于函數，若定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”.

（1）已知二次函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由.

（2）設是定義在上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；

（3）設，若不是定義域R上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）為局部奇函數，詳見解析（2）（3）或

【解析】

（1）由已知中“局部奇函數”的定義，結合函數f（x）＝ax2+2bx﹣3a，可得結論；

（2）由題可知有解，，變量分離求值域即可；

（3）先考慮函數是定義域R上的“局部奇函數”，然后求補集即可.

（1），則得到有解，所以為局部奇函數．

（2）由題可知有解，，

設，所以，

所以．

（3）若為局部奇函數，則有解，

得，

設p＝2x+2﹣x∈[2，+∞），

所以方程等價于p2﹣2mp+2m2﹣8＝0在p≥2時有解．

設h（p）＝p2﹣2mp+2m2﹣8，對稱軸p＝m，

①若m≥2，則△＝4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，

∴，

此時；

②若m＜2時，

則，即，

此時，

綜上得：．

故若不為局部奇函數時或．