Question

設關于x的一元二次函數f（x）=ax²-4bx+1（a，b∈R）．
（I）設集合P={1，2，4}和Q={-1，1，2}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為函數f（x）中a和b的值，求函數y=f（x）有且只有一個零點的概率；
（II）設點（a，b）是隨機取自平面區域

2x+y-4≤0 x＞0 y＞0

內的點，求函數y=f（x）在區間（-∞，1]上是減函數的概率．

Answer 1

分析：（1）要使函數y=f（x）有且只有一個零點，也就是二次方程只有一個根，當且僅當△=16b²-4a=0，即a=4b²．分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，列舉出其基本事件，數出其中滿足a=4b²的事件個數．
（2）函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象特點在區間（-∞，1]上是減函數，得a≤2b且a＞0，畫出圖象，找出符合條件的事件表示的區域，根據幾何概型公式得到結果．

解答：解：（I）由題意知本題是一個古典概型，
要使函數y=f（x）有且只有一個零點，
當且僅當△=16b²-4a=0，即a=4b²．
分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，
可以是（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），
（2，1），（2，2），（4，-1），（4，1），（4，2）共9個基本事件，
其中滿足a=4b²的事件有（4，1），（4，-1）共2個，
∴所求事件的概率為

2

9

．

（II）由題意知本題是一個幾何概型，
∵函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
由函數y=f（x）在區間（-∞，1]上是減函數，得a≤2b且a＞0，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)|

2a+b-4≤0 a＞0 b＞0

}，
即三角形區域AOB．且點A（2，0），點B（0，4）．
構成所求事件的區域為三角形區域BOC（如圖）．
由

2a+b-4=0 a=2b

得交點坐標為C(

8

5

，

4

5

)，
∴所求事件的概率為P=

S△BOC

S△AOB

=

1 2 ×4× 8 5

1 2 ×4×2

=

4

5

．

點評：本題考查幾何概型和古典概型，古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．