Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，求的最大值及相應(yīng)的值；

（2）對(duì)任意正數(shù)恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值；（2）

【解析】

（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）＝lnx﹣f′（x）f（x）＝lnx﹣（2x﹣1）（x2﹣x），從而求定義域；再求導(dǎo)g′（x）；從而確定函數(shù)的最大值及相應(yīng)的值；

（2）f（x）+f（）≥（x）lnm可化為x2﹣x（x）lnm；從而化為lnm；化簡(jiǎn)得1＝（x）1；從而利用換元法求函數(shù)的最值，從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題．

（1）∵，∴，

∴

則

∵的定義域?yàn)?/span>，∴

①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，取得最大值.

（2）由（1）可知，

不等式可化為①

因?yàn)?/span>，所以（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）

設(shè)，則把①式可化為，即（對(duì)恒成立）

令，此函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以的最小值為

于是，即.