Question

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．請解答以下問題
（1）判斷函數f(x)=x+

2

x

(x∈(0，+∞))是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數g（x）=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（3）若函數h(x)=

x-1

+t∈M，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）看是否同時符合①②即可，符合的話，成立，反之不成立．
（2）看是否同時符合①②即可，對于閉區間[a，b]，只需要利用f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

就可求．
（3）已經符合①②，故存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

，再利用單調性求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=x+

2

x

，x∈(0，+∞)，
在(0，

2

)上遞減，在(

2

，+∞)上遞增，
∴f(x)=x+

2

x

，x∈(0，+∞)不屬于M．（4分）
（2）∵g（x）=-x³在R上遞減，
∴若g（x）=-x³屬于M，則

-a3= b 2 -b3= a 2

即

a=- 2 2 b= 2 2

（9分）
（3）∵h(x)=

x-1

+t∈M且為增函數
∴

a-1 +t= a 2 b-1 +t= b 2

∴方程

x-1

+t=

x

2

，在[1，+∞）內有兩解
即

x-1

=

x

2

-t，在[1，+∞）內有兩解，所以t≤

1

2

x-1

+t=

x

2

化為：x²-4（t+1）x+4t²+4=0
則

△=[4(t+1)]2-4×4(t2+1)＞0 - -4(t+1) 2 ＞1 12-4(t+1)×1+4t2+4≥0

解得t＞0，綜上實數t的取值范圍是（0，

1

2

]．

點評：本題是一道帶新定義的探究性的題目，在做這一類型題時，關鍵點是弄清題目中的新定義，并會用它來解題．