Question

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，最大值是

b

2

．請解答以下問題：
（1）判斷函數(shù)g（x）=-x³是否屬于集合M？并說明理由，若是，請找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（2）若函數(shù)h(x)=

x-1

+t∈M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)g（x）的定義域?yàn)?R，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）在R上是減函數(shù)，故滿足條件①．若g（x）∈M，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，

g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b

，解得a、b的值，可得滿足條件②的閉區(qū)間存在，從而g（x）屬于集合M．
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)h（x）在定義域[1，+∞）上是增函數(shù)．若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0．令

x-1

=y(x≥1)，則y≥0，于是關(guān)于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有2個(gè)不等實(shí)根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的范圍．

解答：解：（1）函數(shù)g（x）=-x³的定義域?yàn)?R，g′（x）=-3x²≤0 （僅在x=0時(shí)取等號(hào)），
故函數(shù)g（x）在R上是減函數(shù)，故滿足條件①．
若g（x）∈M，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，

g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b

，即

-a3= b 2 -b3= a 2 a＜b

，解得

a=- 2 2 b= 2 2

，故滿足條件②的閉區(qū)間為[-

2

2

，

2

2

]．
由此可得，g（x）屬于集合M．
（2）函數(shù)h（x）的定義域是[1，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)=

1

2 x-1

＞0，故函數(shù)h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0，…（12分）
令

x-1

=y(x≥1)，則y≥0，
于是關(guān)于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，…（14分）
記u（y）=y²-2y+1-2t，∴

△＞0 u(0)≥0.

，∴t∈(0，

1

2

]．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．