Question

將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實數．定義映射f的模為：在||=1的條件下||的最大值，記做||f||．若存在非零向量R²，及實數λ使得f（）=，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計算f的特征值，并求相應的；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實數a₁，a₂，b₁，b₂應滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．

Answer 1

解：（1）由于此時=，
又因為是在=1的條件下，有==≤1（x₂=±1時取最大值），
所以此時有||f||=1；
（2）由f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂）=λ（x₁，x₂），可得：，
解此方程組可得：（λ-1）（λ+1）=1，從而λ=±．
當λ=時，解方程組，此時這兩個方程是同一個方程，
所以此時方程有無窮多個解，為（寫出一個即可），其中m∈R且m≠0．
當λ=-時，同理可得，相應的（寫出一個即可），其中m∈R且m≠0．
（3）解方程組，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0
從而向量（a₁-λ，b₁）與（a₂，-b₁-λ）平行，
從而有a₁，a₂，b₁，b₂應滿足：．
當f（）=λ時，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具體證明為：
由f的定義可知：f（x₁，x₂）=λ（x₁，x₂），所以λ為特征值．
此時a₁=λ，a₂=0，b₁=0，b₂=λ滿足：，所以有唯一的特征值．
在=1的條件下=λ²，從而有||f||=|λ|．
分析：（1）由新定義可得=，利用=1，可得≤1，從而可得結論；
（2）由特征值的定義可得：，由此可得f的特征值，及相應的；
（3）解方程組，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0，從而可得a₁，a₂，b₁，b₂應滿足的條件，當f（）=λ時，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再進行證明即可．
點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，正確運用新定義是關鍵．