Question

將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實數．定義映射f的模為：在|

x

|=1的條件下|

y

|的最大值，記做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及實數λ使得f（

x

）=λ

x

，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計算f的特征值，并求相應的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實數a₁，a₂，b₁，b₂應滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．

Answer 1

（1）由于此時y12+y22=

1

4

x12+x22，
又因為是在x12+x22=1的條件下，有y12+y22=

1

4

x12+x22=

1

4

+

3

4

x22≤1（x₂=±1時取最大值），
所以此時有||f||=1；…（4分）
（2）由f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂）=λ（x₁，x₂），可得：

x1+x2=λx1 x1-x2=λx2

，
解此方程組可得：（λ-1）（λ+1）=1，從而λ=±

2

．
當λ=

2

時，解方程組

x1+x2= 2 x1 x1-x2= 2 x2

，此時這兩個方程是同一個方程，
所以此時方程有無窮多個解，為

x

=m(

2

+1，1)（寫出一個即可），其中m∈R且m≠0．
當λ=-

2

時，同理可得，相應的

x

=m(1-

2

，1)（寫出一個即可），其中m∈R且m≠0．…（9分）
（3）解方程組

a1x1+a2x2=λx1 b1x1+b2x2=λx2

，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0
從而向量（a₁-λ，b₁）與（a₂，-b₁-λ）平行，
從而有a₁，a₂，b₁，b₂應滿足：(a1-b2)2+4a2b1=0．
當f（

λ

）=λ

x

時，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具體證明為：
由f的定義可知：f（x₁，x₂）=λ（x₁，x₂），所以λ為特征值．
此時a₁=λ，a₂=0，b₁=0，b₂=λ滿足：(a1-b2)2+4a2b1=0，所以有唯一的特征值．
在x12+x22=1的條件下(λx1)2+(λx2)2=λ²，從而有||f||=|λ|．…（14分）