Question

如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)f（x）=x²（0＜x＜6）的圖象，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點(diǎn)M（t，f（t））處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，
（1）試用t表示切線PQ的方程；
（2）試用t表示△QAP的面積g（t），若函數(shù)g（t）在[m，n]上單調(diào)遞減，試求出m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)在M點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率從而得到答案．
（2）先求出點(diǎn)PQ的坐標(biāo)然后表示出函數(shù)g（t）的解析式，再對(duì)函數(shù)g（t）求導(dǎo)令其導(dǎo)函數(shù)小于0即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=2x，
∴k=2t，切線PQ的方程為
y-t²=2t（x-t），即2tx-y-t²=0．
（2）由（1）可求得P（

t

2

，0），Q（6，12t-t²），
∴g（t）=S_△QAP=

1

2

（6-

1

2

t）（12t-t²）=

1

4

t³-6t²+36t（0＜t＜6），
g′（t）=

3

4

t²-12t+36．令g′（t）＜0，得4＜t＜12．
考慮到0＜t＜6，∴4＜t＜6，即g（t）的單調(diào)減區(qū)間為（4，6）．∴m的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系．屬中檔題．