Question

如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)f(x)＝x²(0＜x＜6＝的圖象，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點(diǎn)M(t,f(t))處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，⑴試用t表示切線PQ的方程；⑵試用t表示出△QAP的面積g(t)；若函數(shù)g(t)在(m，n)上單調(diào)遞減，試求出m的最小值；⑶若S_△QAP∈[]，試求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍

Answer 1

[,3]

解析:

⑴設(shè)點(diǎn)M(t，t²)，又f＇(x)=2x，

∴過點(diǎn)M的切線PQ的斜率k=2t     ∴切線PQ的方程為：y=2tx－t²

⑵由⑴可求得，P()，Q(6,12t－t²)∴g(t)＝S_△QAP＝(12t－t²)=(0<t<6)

由于g＇(t)=,令g＇(t)<0，則4<t<12，考慮到0<t<6,∴4<t<6，

∴函數(shù)g(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(4,6)，因此m的最小值為4

⑶由⑵知，g(t)在區(qū)間(4,6)上遞減，∴此時(shí)S_△QAP∈(g(6)，g(4))=(54,64)

令g＇(t)＞0，則0<t<4，∴g(t) 在區(qū)間(0，4)上遞增，

S_△QAP∈(g(0)，g(4))=(0，64)，又g(4)＝64

∴g(t)的值域?yàn)?0，64)

由≤g(t)≤64，得1≤t<6∴≤<3，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)∈[,3]