Question

（2013•江蘇）如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從勻速步行到C．假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cosA=

12

13

，cosC=

3

5

（1）求索道AB的長；
（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）作出相應的圖形，根據cosC的值，求出tanC的值，設出BD表示出DC，由cosA的值，求出tanA的值，由BD表示出AD，進而表示出AB，由CD+AD=AC，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出AB的長；
（2）設乙出發xmin后到達點M，此時甲到達N點，如圖所示，表示出AM與AN，在三角形AMN中，由余弦定理列出關系式，將表示出的AM，AN及cosA的值代入表示出MN²，利用二次函數的性質即可求出MN取最小值時x的值；
（3）由（1）得到BC的長，由AC的長及甲的速度求出甲到達C的時間，分兩種情況考慮：若甲等乙3分鐘，此時乙速度最小，求出此時的速度；若乙等甲3分鐘，此時乙速度最大，求出此時的速度，即可確定出乙步行速度的范圍．

解答：解：（1）∵cosA=

12

13

，cosC=

3

5

，
∴tanA=

5

12

，tanC=

4

3

，
如圖作BD⊥CA于點D，
設BD=20k，則DC=15k，AD=48k，AB=52k，
由AC=63k=1260m，解得：k=20，
則AB=52k=1040m；
（2）設乙出發xmin后到達點M，此時甲到達N點，如圖所示，
則AM=130xm，AN=50（x+2）m，
由余弦定理得：MN²=AM²+AN²-2AM•ANcosA=7400x²-14000x+10000，
其中0≤x≤10，當x=

35

37

min時，MN最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短；
（3）由（1）知：BC=500m，甲到C用時為1260÷50=

126

5

（min），
若甲等乙3分鐘，則乙到C用時為

126

5

+3=

141

5

（min），在BC上同時為

86

5

（min），
此時乙的速度最小，且為500÷

86

5

=

1250

43

≈29.07（m/min）；
若乙等甲3分鐘，則乙到C用時為

126

5

-3=

111

5

（min），在BC上用時為

56

5

（min），
此時乙的速度最大，且為500÷

56

5

=

2500

56

≈44.64（m/min），
則乙步行的速度控制在[29.07，44.64]范圍內．

點評：此題考查了余弦定理，銳角三角函數定義，以及勾股定理，利用了分類討論及數形結合的思想，屬于解直角三角形題型．