Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓，圓．

（1）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）圓是以1為半徑，圓心在圓：上移動的動圓 ，若圓上任意一點分別作圓 的兩條切線，切點為，求的取值范圍；

（3）若動圓同時平分圓的周長、圓的周長，則動圓是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或（2）（3）所求的定點坐標為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（+1），根據直線l被圓C2截得的弦長為，利用勾股定理，求出k，即可求直線l的方程；（Ⅱ）動圓D是圓心在定圓上移動，半徑為1的圓，由圓的幾何性質得，|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r，即2≤|PC1|≤4，4≤|PC1|2≤16，利用向量的數量積公式，即可求

的取值范圍；（Ⅲ）確定動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動，求出動圓C的方程，即可得出結論．

試題解析：（1）設直線的方程為，即． 因為直線被圓截得的弦長為，而圓的半徑為1，所以圓心到：的距離為．化簡，得，解得或．所以直線的方程為或.

（2） 動圓D是圓心在定圓上移動，半徑為1的圓

設，則在中，，

有,則

由圓的幾何性質得，，即，

則的最大值為，最小值為. 故

（3）設圓心C（x，y），由題意得CC1=CC2，

即，整理得x+y-3=0，即圓心C在定直線x+y-3=0上運動．

設C（m，3-m），

則動圓的半徑，

于是動圓C的方程為（x-m）2+（y-3+m）2=1+（m+1）2+（3-m）2，

整理得：x2+y2-6y-2-2m（x-y+1）=0．

由，

解得或，

即所求的定點坐標為