Question

已知平面向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，-cosx），

c

=（-cosx，-sinx），x∈R，函數f（x）=

a

•（

b

-

c

）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

2

2

，求sinα的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）由向量和三角函數的運算可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

解不等式可得；
（Ⅱ）由題意可得sin（α-

π

4

）=

1

2

，可得cos（α-

π

4

）=±

3

2

，而sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

sin（α-

π

4

）+

2

2

 cos（α-

π

4

），分類討論代入計算可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，-cosx），

c

=（-cosx，-sinx），
∴

b

-

c

=（sinx+cosx，sinx-cosx），
∴f（x）=

a

•（

b

-

c

）=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）
=sin²x+2sinxcosx-cos²x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，
∴函數f（x）的單調遞減區間是為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
由f（

α

2

）=

2

2

可得

2

sin（α-

π

4

）=

2

2

，∴sin（α-

π

4

）=

1

2

，
又∵sin²（α-

π

4

）+cos²（α-

π

4

）=1，∴cos（α-

π

4

）=±

3

2

，
sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

sin（α-

π

4

）+

2

2

 cos（α-

π

4

），
∴當cos（α-

π

4

）=

3

2

時，sinα=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

當cos（α-

π

4

）=-

3

2

時，sinα=

1

2

×

2

2

-

3

2

×

2

2

=

2 - 6

4

點評：本題考查三角函數恒等變換，涉及三角函數的單調性和和差角的三角函數以及分類討論的思想，屬中檔題．