Question

【題目】設函數f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3處取得極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在點A（1，16）處的切線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，

∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，

又∵f（x）在x=3處取得極值，

∴f′（3）=6×9﹣6（a+1）×3+6a=0，解得a=3．

∴f（x）=2x3﹣12x2+18x+8

（2）解：A（1，16）在f（x）上，

由（1）可知f′（x）=6x2﹣24x+18，

f′（1）=6﹣24+18=0，

∴切線方程為y=16

【解析】（1）求出原函數的導函數，根據f（x）在x=3處取得極值，得到f′（3）=0，由此求得a的值，則函數f（x）的解析式可求；（2）由（1）得到f′（x）=6x2﹣24x+18，求得f′（1）=0，∴f（x）在點A（1，16）處的切線方程可求．