Question

（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)。

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時(shí),(其中)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052417403985939877/SYS201205241745450937959370_DA.files/image001.png">.  

 由得;   由得,                               

則增區(qū)間為,減區(qū)間為.                                   

(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增,    由,且,    

時(shí), 的最大值為,故時(shí),不等式恒成立. 

(3)方程即.記,則.由得;由得.

所以g(x)在[0,1]上遞減，在[1，2]上遞增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 。

所以，當(dāng)a＞1時(shí)，方程無解；當(dāng)3-2ln3＜a≤1時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)a=2-2ln2時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)a＜2-2ln2時(shí)，方程無解.                                             

綜上所述，a時(shí)，方程無解；

或a=2-2ln2時(shí)，方程有唯一解；

時(shí)，方程有兩個(gè)不等的解

【解析】略