Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，離心率e=

6

3

，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線和原點(diǎn)的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線l：y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，是否存在k的值，使以CD為直徑的圓恰過(guò)點(diǎn)E？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線AB：

x

a

+

y

-b

=1，化為bx-ay-ab=0，由于過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線和原點(diǎn)的距離為

3

2

．可得

ab

a2+b2

=

3

2

，又

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，解出即可．
（2）假設(shè)存在k的值，使以CD為直徑的圓恰過(guò)點(diǎn)E．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，△＞0，化為k²＞1．可得根與系數(shù)的關(guān)系，

EC

•

ED

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）直線AB：

x

a

+

y

-b

=1，化為bx-ay-ab=0，
∵過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線和原點(diǎn)的距離為

3

2

．
∴

ab

a2+b2

=

3

2

，又

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=3，b=1，
∴橢圓的方程為：

x2

3

+y2=1．
（2）假設(shè)存在k的值，使以CD為直徑的圓恰過(guò)點(diǎn)E．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+2 x2+3y2=3

，
化為（1+3k²）x²+12kx+9=0，
△=144k²-36（1+3k²）＞0，
化為k²＞1．
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

．
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．

EC

•

ED

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0，
∴

9(1+k2)

1+3k2

-

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0，
化為k=

7

6

，滿足△＞0．
∴直線CD的方程為：y=

7

6

x+2，化為7x-6y+12=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．