Question

已知△PAB的兩個頂點A，B分別為雙曲線

x2

5

-

y2

4

=1的左、右焦點，且PA，PB所在直線斜率之積為k（k≠0），試探求頂點P的軌跡．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,軌跡方程

專題：計算題,分類討論,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出頂點P的坐標，由PA，PB所在直線的斜率之積等于k（k≠0），列式整理得到頂點P的軌跡的方程，然后分k的不同取值范圍判斷軌跡為何種曲線．

解答： 解：雙曲線

x2

5

-

y2

4

=1的c=

5+4

=3，
則A（-3，0），B（3，0）．
設點P的坐標為（x，y），由已知，得
直線PA的斜率k_PA=

y

x+3

，
直線PB的斜率k_PB=

y

x-3

，
由題意得k_PA•k_PB=k，所以

y

x+3

•

y

x-3

=k，
即

x2

9

-

y2

9k

=1（x≠±3），
當k＜0時，點P的軌跡是橢圓（k≠-1），或者圓（k=-1），
并除去兩點（-3，0），（3，0）；
當k＞0時，點P的軌跡是雙曲線，并除去兩點（-3，0），（3，0）．

點評：本題考查了雙曲線的方程和性質，考查與直線有關的動點軌跡方程，考查了分類討論的數學思想方法，屬于中檔題．