Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，且有f（c）=0，當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．
（1）當a=1，c=

1

2

時，解不等式f（x）＜0；
（2）若以二次函數的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1對所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求實數m的值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知便知，c是f（x）=0的一個根，而由a=1，c=

1

2

，便容易求得方程f（x）=0的另一個根為1，所以根據一元二次不等式的解法便可得到f（x）＜0的解；
（2）容易根據已知條件求出f（x）另一個根為

1

a

，所以根據三角形的面積為8并結合圖形即可得到(

1

a

-c)c=16，所以根據基本不等式即可求得a的取值范圍；
（3）先求出c=1，由圖象便知f（x）在[0，1]上的最大值為1，所以得到1≤m²-2km+1對于k∈[-1，1]恒成立，即-2mk+m²≥0恒成立．通過討論m的取值，并根據一次函數的單調性即可求出關于k的函數-2mk+m²在[-1，1]上的最小值，根據該最小值大于等于0即可求出m的范圍．

解答： 解：（1）由已知條件知c是f（x）=0的一個根；
a=1，c=

1

2

時，f（x）=x2+bx+

1

2

，設f（x）=0的另一個根為x₀；
則：

1

2

•x0=

1

2

，x₀=1；
∴

1

2

，1是方程f（x）=0的兩個根；
∴f（x）＜0的解為（

1

2

，1）；
（2）f（x）的圖象如圖所示，
設f（x）=0的另一個根為x₀，則：
c•x0=

c

a

；
∴x0=

1

a

；
∴根據（2）的條件便有，

1

2

(

1

a

-c)c=8；
∴(

1

a

-c)c=16；
∴16≤(

1

a

-c+c)2；
即a2≤

1

16

，a＞0；
∴0＜a＜

1

4

；
∴a的取值范圍為（0，

1

4

）；
（3）f（0）=1，∴c=1；
∴由上圖知f（x）在[0，c]的最大值為1；
由題意：1≤m²-2km+1，即-2mk+m²≥0對于任意的k∈[-1，1]恒成立；
①若m＜0，則-2mk+m²在k∈[-1，1]上的最小值為m²+2m；
∴m²+2m≥0，解得m≤-2，或m≥0（舍去）；
②若m=0顯然滿足題意；
③若m＞0，則-2mk+m²在k∈[-1，1]上的最小值為m²-2m；
∴m²-2m≥0，解得m≥2，或m≤0（舍去）；
綜上得實數m的取值為{m|m≤-2，m=0，或m≥2}．

點評：考查韋達定理，一元二次不等式的解法，以及三角形面積公式，基本不等式，根據圖象求二次函數的最大值，以及一次函數的單調性．