Question

已知向量m＝(sin x,1)，n＝，函數f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函數f(x)的最小正周期T及單調遞增區間；
(2)已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，A為銳角，a＝2，c＝4，且f(A)是函數f(x)在上的最大值，求△ABC的面積S.

Answer 1

（1）π      (k∈Z)．
（2）2

(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin²x＋1＋sin xcos x＋＝＋1＋sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋2＝sin＋2.
因為ω＝2，所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故所求單調遞增區間為(k∈Z)．
(2)由(1)知，f(A)＝sin＋2，
又A∈，∴－<2A－<.
由正弦函數圖象可知，當2A－＝，
即A＝時，f(x)取得最大值3，
由余弦定理，a²＝b²＋c²－2bccos A.
可得12＝b²＋16－2×4b×，∴b＝2.
從而S＝bcsin A＝×2×4×sin ＝2.