Question

某商場對A品牌的商品進行了市場調查，預計2012年從1月起前x個月顧客對A品牌的商品的需求總量P(x)件與月份x的近似關系是：
P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N^*)
(1)寫出第x月的需求量f(x)的表達式；
(2)若第x月的銷售量g(x)＝
(單位：件)，每件利潤q(x)元與月份x的近似關系為：q(x)＝，問：該商場銷售A品牌商品，預計第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？(e⁶≈403)

Answer 1

（1）f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)（2）預計該商場第6個月的月利潤達到最大，最大月利潤約為12 090元

(1)當x＝1時，f(1)＝P(1)＝39.
當x≥2時，
f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)
＝3x(14－x)．
∴f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)．(5分)
(2)設月利潤為h(x)，
h(x)＝q(x)·g(x)＝
h′(x)＝ (9分)
∵當1≤x≤6時，h′(x)≥0，
當6＜x＜7時，h′(x)＜0，
∴當1≤x＜7且x∈N^*時，h(x)_max＝30e⁶≈12 090，(11分)
∵當7≤x≤8時，h′(x)≥0，當8≤x≤12時，h′(x)≤0，
∴當7≤x≤12且x∈N^*時，h(x)_max＝h(8)≈2 987.
綜上，預計該商場第6個月的月利潤達到最大，最大月利潤約為12 090元．(14分)