Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程.

（2）當時，若對任意的，都有，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得時的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線方程；

（2）求得的導數，討論，，的單調區間，考慮在，的單調性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范圍．

解：（1）當時，，

所以，

所以曲線在點處的切線斜率，

又，所以曲線在點處的切線方程為，即.

（2）由，

得.

當時，，在上單調遞增，

則，顯然成立；

當時，由，得；

由，得，

所以在上單調遞減，在和上單調遞增.

①時，，在上單調遞減，

所以，

所以對任意的，都有等價于，

即，

解得，

又，所以；

②當時，，

所以在上的最小值為.

又當時，，顯然成立.

綜上，實數a的取值范圍為.