Question

學習合情推理后，甲、乙兩位同學各舉一個例子．
甲：由“若三角形周長為l，面積為S，則其內切圓半徑r=

2S

l

”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內切球半徑r=

3V

S

”；
乙：由“若直角三角形兩直角邊長分別為a、b，則其外接圓半徑r=

a2+b2

2

”類比可得“若三棱錐三條側棱兩兩垂直，側棱長分別為a、b、c，則其外接球半徑r=

a2+b2+c2

3

”．
這兩位同學類比得出的結論正確的是

 

．

Answer 1

分析：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．但由于類比推理的結果不一定正確，故我們還需要進一步的證明．

解答：解：甲的結論：若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內切球半徑r=

3V

S

”證明如下：
設三棱錐的四個面積分別為：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于內切球到各面的距離等于內切球的半徑
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×=

1

3

S×r
∴內切球半徑r=

3V

S

甲同學的類比結論是正確的
而若三棱錐三條側棱兩兩垂直，側棱長分別為a、b、c
其外接球直徑等于棱長為a、b、c的長方體的對角線長
∴2r=

a2+b2+c2

∴r=

a2+b2+c2

2

≠

a2+b2+c2

3

故乙甲學的類比結論是不正確的
故答案為：甲

點評：本題考查的知識點是類比推理，在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．但類比推理的結果不一定是正確的，還需要是進一步的論證．