Question

【題目】已知拋物線，準線方程為，直線過定點（）且與拋物線交于、兩點，為坐標原點.

（1）求拋物線的方程；

（2）是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）當時，設，記，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，此定值為；（3）（）.

【解析】

（1）根據準線方程便可得到，從而可以求出，這便得到拋物線方程為；

（2）可設，，，，可得到直線方程，聯立拋物線方程并消去得到，從而得到，這樣即可得到，根據題意知為定值，即得出為定值，定值為；

（3）可得到，可設，根據條件便可得到，而根據點在拋物線上便可得到，而又是拋物線的焦點，從而有，帶入，的縱坐標及便可得出的解析式．

（1）由題意，，，故拋物線方程為.

（2）設，，直線，

則，

于是，，

因為點是定點，所以是定值，所以是定值，此定值為；

（3），設，則，

，故，

因為點在拋物線上，所以，得.

又為拋物線的焦點，故

，即（）.