Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（﹣1，0）的距離與P到定直線x=﹣4的距離之比為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）若軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)N到定點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值為1，求m的值.

（3）設(shè)點(diǎn)A、B是軌跡C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OA、OB與軌跡C的另一交點(diǎn)分別為A1、B1，且直線OA、OB的斜率之積等于，問(wèn)四邊形ABA1B1的面積S是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=1；（3）是，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)N（x，y），利用兩點(diǎn)間距離公式能求出m；

（3）法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由點(diǎn)A、B在橢圓C上，得，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合已知條件能求出四邊形ABA1B1的面積為定值；

法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，點(diǎn)A、B在橢圓C上，得.由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合已知條件能求出四邊形ABA1B1的面積為定值.

（1）設(shè)P（x，y），

∵動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（﹣1，0）的距離與P到定直線x=﹣4的距離之比為，

∴由題意，，化簡(jiǎn)得3x2+4y2=12，

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為；

（2）設(shè)N（x，y），則

，﹣2≤x≤2.

①當(dāng)0＜4m≤2，即時(shí)，當(dāng)x=4m時(shí)，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，

解得，，此時(shí)，故舍去.

②當(dāng)4m＞2，即時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，

解得m=1，或m=3（舍）.

綜上，m=1.

（3）解法一：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則由，得，，

∵點(diǎn)A、B在橢圓C上，∴，，

∴，化簡(jiǎn)得.

①當(dāng)x1=x2時(shí)，則四邊形ABA1B1為矩形，y2=﹣y1，則，

由，得，解得，，

.

②當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線AB的方向向量為，

直線AB的方程為，

原點(diǎn)O到直線AB的距離為

∴△AOB的面積，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形ABA1B1的面積S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，

∴

=，∴.

∴四邊形ABA1B1的面積為定值.

解法二：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），

由，得，

∵點(diǎn)A、B在橢圓C上，所以，，

∴，化簡(jiǎn)得.

直線OA的方程為y1x﹣x1y=0，點(diǎn)B到直線OA的距離，

△ABA1的面積，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形ABA1B1的面積=2|x1y2﹣x2y1|，

∴

=，∴.

∴四邊形ABA1B1的面積為定值.