Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）在△PAD中，AP=2，AD=2 ，PD=4，三棱錐E﹣ACD的體積是 ，求二面角D﹣AE﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．

∵ABCD是平行四邊形，∴O為BD的中點(diǎn)．

又E為PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB．

∵EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC．

（2）解：∵在△PAD中， ，

∴AP2+AD2=PD2，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，

在平行四邊形ABCD中，AC=BD，∴ABCD為矩形，

∴AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向， 為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，

∵E為PD的中點(diǎn)，∴三棱錐E﹣ACD的高為 ，

設(shè)AB=m（m＞0），三棱錐E﹣ACD的體積 ，解得m=3=AB．

則 ， ，

設(shè)B（3，0，0）（m＞0），則 ．

設(shè) 為平面ACE的法向量，

則 ，即 ，取y=﹣1，得 ．

又 為平面DAE的法向量，

由題設(shè) ，

即二面角D﹣AE﹣C的大小是60°．

【解析】（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO，則EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．（2）推導(dǎo)出PA⊥AD．則PA⊥平面ABC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸的正方向， 為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的大小．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．