Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判斷在定義域上的單調(diào)性并加以證明；

（Ⅲ）若對于任意的，不等式恒成立, 求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）減函數(shù)，證明見解析；（III）.

【解析】

（I）根據(jù)函數(shù)是上的奇函數(shù)，利用求得的值，再利用一個(gè)特殊點(diǎn)，求得的值.（II）任取，通過計(jì)算證得函數(shù)在上遞減.（III）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，化簡不等式，將函數(shù)符號去掉，然后對分離常數(shù)，利用的取值范圍求得的取值范圍.

（Ⅰ）∵ 為R上的奇函數(shù),

∴. 又,得.

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意

（Ⅱ）任取且＜，

=

由函數(shù)的單調(diào)性可知，

而，

故＞0，

所以函數(shù)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)

（Ⅲ）∵,不等式＜0恒成立,

∴＜. ∵為奇函數(shù),

∴＜,

∵為減函數(shù),

∴＞

即＜恒成立

而=∴＜