Question

已知f(x)=

4-tx

(t＞0)的定義域為A，不等式x²-4x-12＜0的解集為B．記p：x∈A，q：x∈B
（1）當t=2時，試判斷p是q的什么條件？
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當t=2時，解不等式4-2x≥0，求出A={x|x≤2}，解一元二次不等式x²-4x-12＜0求出B={x|-2＜x＜6}，由此能夠得到命題p是命題q的必要不充分條件．
（2）由M={x|x＜-3或x＞5}，N={x|（x-8）（x+a）≤0}，命題p是命題q的必要不充分條件，分類討論能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當t=2時，A={x|x≤2}，
B={x|-2＜x＜6}，
∵命題p：x∈A，命題q：x∈B，
∴q推不出p，p推不出q，
∴命題p是命題q的不必要不充分條件．
（2）∵A={x|4-tx≥0}，
當t=0時，A=R，此時p是q的必要不充分條件；
當t＞0時，A={x|x≤

4

t

}，
要使得命題p是命題q的必要不充分條件，則

4

t

≥6，解得0＜t≤

2

3

；
當t＜0時，A={x|x≥

4

t

}，
要使得命題p是命題q的必要不充分條件，則

4

t

≤-2，解得-2≤t＜0；
綜上所述，t的取值范圍是{a|-2≤t≤

2

3

}．

點評：本題考查必要條件、充分條件、充要條件的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．