Question

【題目】點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB=BC= ，∠ABC=90°，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個球的表面積為（ ）
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根據題意知，直角三角形△ABC的面積為3．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，

若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，

所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為為 S△ABC×DQ=3，

即 ×3×DQ=3，∴DQ=3，如圖．設球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，

OA2=AQ2+OQ2，即R2=（ ）2+（3﹣R）2，∴R=2，

則這個球的表面積為：S=4π×22=16π．

故選：D．

根據幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積