Question

求“方程（

3

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）^x+（

4

5

）^x=1的解”有如下解題思路：設f（x）=（

3

5

）^x+（

4

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）^x，則f（x）在R上單調遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，類比上述解題思路，方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10的所有實數解之和為

1

．

Answer 1

分析：方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10等價為x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）．類比“方程（

3

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）^x+（

4

5

）^x=1，求“方程的解的解題思路，設f（x）=x³+x，利用導數研究f（x）在R上單調遞增，從而根據原方程可得x²=x+2，解之即得方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集．

解答：解：∵方程x⁶+x²=x³+6x²+13x+10等價為x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）．
∴設f（x）=x³+x，
則函數f（x）在R上單調遞增，
由x⁶+x²=（x+2）³+（x+2），
即（x²）³+x²=（x+2）³+（x+2），
∴x²=x+2，
解得，x=-1或x=2．
∴方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集為{-1，2}．
∴-1+2=1．
故答案為：1

點評：本題主要考查了類比推理，考查了導數與單調性的關系，函數單調性的應用，考查學生分析問題，解決問題的能力．