Question

已知函數f（x）=sin（wx+

π

2

）（w＞0），其圖象上相鄰的兩個最低點間的距離為2π．
（1）求ω的值及f（x）
（2）若a∈（-

π

3

，

π

2

），f（a+

π

3

）=

1

3

，求sin（2a+

2π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象上相鄰的兩個最低點間的距離為2π，可得其周期為2π，進而可求w，可得解析式；
（2）由題意可得cos（a+

π

3

）=

1

3

，通過三角函數公式可求其正弦值，而sin（2a+

2π

3

）=2sin（α+

π

3

）cos（α+

π

3

），代值可求．

解答：解：（1）因為函數f（x）=sin（wx+

π

2

）（w＞0），圖象上相鄰的兩個最低點間的距離為2π．
所以函數的周期為2π，由T=

2π

w

=2π，可得w=1，
故f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx
（2）由（1）可知f（x）=cosx，可得cos（a+

π

3

）=

1

3

，又a∈（-

π

3

，

π

2

），所以α+

π

3

∈（0，

5π

6

）
所以sin（α+

π

3

）=

1-cos2(α+ π 3 )

=

2 2

3

，
所以sin（2α+

2π

3

）=2sin（α+

π

3

）cos（α+

π

3

）=2×

2 2

3

×

1

3

=

4 2

9

點評：本題為三角函數的基本運算，把圖象問題轉化為式子的運算和交點整體運用是解決問題的關鍵，屬中檔題．