Question

【題目】如圖1，在邊長為4的菱形中，，于點，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）判斷在線段上是否存在一點，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）不存在．

【解析】

(1)∵DE⊥BE，BE∥DC，

∴DE⊥DC．

又∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，

∴DC⊥平面A1DE，

∴DC⊥A1E.

又∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，

∴A1E⊥平面BCDE.

(2)∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，

∴以EB，ED，EA1所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

易知DE=2，則A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，

∴=(2，0，2)，=(2，2，0)，

易知平面A1BE的一個法向量為n=(0，1，0)．

設(shè)平面A1BC的法向量為m=(x，y，z)，

由·m=0，·m=0，得令y=1，得m=(，1，)，

∴cos〈m，n〉===.

由圖得二面角E A1B C為鈍二面角，

∴二面角E A1B C的余弦值為.

(3)假設(shè)在線段EB上存在一點P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．

設(shè)P(t，0，0)(0≤t≤2)，則=(t，0，2)，=(0，2，2)，

設(shè)平面A1DP的法向量為p=(x1，y1，z1)，

由得令x1=2，得p=.

∵平面A1DP⊥平面A1BC，

∴m·p=0，即2＋t=0，解得t=3.

∵0≤t≤2，

∴在線段EB上不存在點P，使得平面A1DP⊥平面A1BC．