Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）當a∈（-∞，-2）時，求證：a∉M；
（2）當a∈（0，]時，求證：a∈M；
（3）當a∈（，+∞）時，判斷元素a與集合M的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果a＜-2，由題設條件知|a₁|=|a|＞2，a∉M．
（2）由題高級條件知當時，（?n≥1）．由數學歸納法可以證出對任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．
（3）當時，a∉M．由題設條件可以推導出．當時，，由此可知a_n+1＞2，因此a∉M．
解答：證明：（1）如果a＜-2，則|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）當時，（?n≥1）．
事實上，〔i〕當n=1時，．
設n=k-1時成立（k≥2為某整數），
則〔ii〕對n=k，．
由歸納假設，對任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．（6分）
（3）當時，a∉M．證明如下：
對于任意n≥1，，且a_n+1=a_n²+a．
對于任意n≥1，，
則．
所以，．
當時，，
即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）
點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要認真審題，仔細解答．