Question

已知雙曲線

x2

24tanα

-

y2

16cotα

=1（α為銳角）和圓（x-m）²+y²=r²相切于點A（4

3

，4），求α，m，r的值．

Answer 1

分析：把點A（4

3

，4）代入雙曲線

x2

24tanα

-

y2

16cotα

=1（α為銳角），求出α的值，聯立雙曲線和圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，△=0，和把點A（4

3

，4）代入圓（x-m）²+y²=r²，解方程組即可求得m，r的值．

解答：解：∵點A（4

3

，4）在雙曲線上，
∴

(4 3 )2

24tanα

-

42

16cotα

=1，

2

tanα

-tanα=1
tan²α+tanα-2=0
即（tanα-1）（tanα+2）=0   解得tanα=1，tanα=-2（α不是銳角，舍去）
α=45°，
故雙曲線方程為

x2

24

-

y2

16

=1（1）
又圓的方程為（x-m）²+y²=r²（2）
從（1）得y²=

2

3

x2-16，
代入（2）得（x-m）²+

2

3

x2-16=r2=(4

3

-m)2+42，
即5x²-6mx+24

3

m-240=0．
因為交點A是切點，故方程有等根，即其判別式為
△=3m²-40

3

m+400=0，
m=

20 3

3

．
由此可得，圓的圓心為（

20 3

3

，0），
半徑r=

(4 3 - 20 3 3 )2+42

=

4

3

21

．

點評：此題是個中檔題．本題考查了代入法求圓與雙曲線的標準方程、以及雙曲線與圓相切問題，轉化為一元二次方程有相等實根問題，體現了轉化的思想．