Question

已知函數(shù)f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 3x2，x∈[ 1 2 ，1]

，若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則x₁•f（x₂）的取值范圍為（　　）

A．[ 3 4 ，1)

B．[ 1 8 ， 3 6 )

C．[ 3 16 ， 1 2 )

D．[ 3 8 ，3)

Answer 1

①當(dāng) 0≤x＜

1

2

時(shí)，

1

2

≤f（x）=x+

1

2

＜1．故當(dāng)x=

1

4

時(shí)，f（x）=

3

4

．
②當(dāng)

1

2

≤x≤1時(shí)，

3

4

≤f（x）=3x²≤3，故當(dāng)x=

3

3

時(shí)，f（x）=1．
若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=k，則

1

4

≤x₁ ＜

1

2

≤x₂ ＜1，
如圖所示：
顯然當(dāng)k=f（x₁）=f（x₂）=

3

4

時(shí)，x₁•f（x₂）取得最小值，
此時(shí)，x₁=

1

4

，x₂=

1

2

，x₁•f（x₂）的最小值為

1

4

×

3

4

=

3

16

．
顯然，當(dāng)k=f（x₁）=f（x₂）趨于1時(shí)，x₁•f（x₂）趨于最大，
此時(shí)，x₁趨于

1

2

，x₂趨于

3

3

，x₁•f（x₂）趨于

1

2

×1=

1

2

．
故x₁•f（x₂）的取值范圍為 [

3

16

，

1

2

)，
故選C．