Question

若不等式lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

≥（x-1）lgn對任意不大于1的實數x和大于1的正整數n都成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（-∞，0]
• C、[

  1

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，

  1

  2

  ]

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：由已知條件知當且僅當x=1時，（x-1）lgn取最大值0，此時lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

=lg（

n+1

2

-a）≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：∵x≤1，n是大于1的正整數，
∴當且僅當x=1時，（x-1）lgn取最大值0，
此時lg

1x+2x+…+(n-1)x+(1-a)nx

n

=lg（

1+2+3+…+n

n

-a）
=lg（

n+1

2

-a）≥0，
∴

n+1

2

-a≥1對任意大于1的正整數n都成立，
∴a≤

n+1

2

-1≤

3

2

-1=

1

2

，
∴a的取值范圍是（-∞，

1

2

]．
故選：D．

點評：本題考查對數的運算性質的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的前n項和公式的靈活運用．