Question

【題目】設實數a∈R，函數 是R上的奇函數． （Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）當x∈（1，1）時，求滿足不等式f（1m）+f（1m2）＜0的實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為函數 是R上的奇函數，所以f（0）=0．

即 ，解得a=1．（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），得 ．

因為f（x）是R上的奇函數，由f（1m）+f（1m2）＜0，

得f（1m）＜f（1m2），即f（1m）＜f（m21）．

下面證明f（x）在R是增函數．

設x1，x2∈R且x1＜x2，則

因為x1＜x2，所以 ， ，而 ，

所以 ，

即f（x1）＜f（x2），所以 是R上的增函數．

當x∈（1，1）時，由f（1m）＜f（m21）得 ，

解得 ．

所以，當x∈（1，1）時，滿足不等式f（1m）+f（1m2）＜0的實數m的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義求出a的值即可，（Ⅱ）根據條件判斷函數的單調性，利用函數奇偶性和單調性的性質進行轉化求解即可．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．