Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間;

（2）證明當時，關于的不等式恒成立;

（3）若正實數滿足，證明.

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞減區間為，函數的單增區間為；(2)(3)均見解析.

【解析】

試題分析：(1)求函數的導數，在函數的定義域內解不等式即可求得函數的單調遞增區間與單調遞減區間；（2）令，則時，關于的不等式恒成立等價于，在區間上，即可;(3) 由，即，令，，在區間上，證即可.

試題解析： （1） ，由，得.

又,所以，所以的單調遞減區間為，函數的單增區間為.

（2）令,所以,因為,所以,令,得,所以當,當時，因此函數在是增函數，在是減函數，故函數的最大值為，令，因為，又因為在是減函數，所以當時，，即對于任意正數總有，所以關于的不等式恒成立.

（3）由，即，從而

，令，則由得，，可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，所以，又，因此成立.