Question

【題目】已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點 .

（1）若在線段上，是的中點，證明；

（2）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：設的方程為

．（1）由在線段上，又 ；（2）設與軸的交點為 （舍去），．設滿足條件的的中點為．當與軸不垂直時．當與軸垂直時與重合所求軌跡方程為．

試題解析：由題設，設，則，且

．

記過兩點的直線為，則的方程為．．．．．．．．．．．．．3分

（1）由于在線段上，故，

記的斜率為的斜率為，則，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）設與軸的交點為，

則，

由題設可得，所以（舍去），．

設滿足條件的的中點為．

當與軸不垂直時，由可得．

而，所以．

當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為 ．．．．．．．．．12分