Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為AB，DA上動點，且△APQ的周長為2，設 AP=x，AQ=y．

（1）求x，y之間的函數關系式y=f（x）；
（2）判斷∠PCQ的大小是否為定值？并說明理由；
（3）設△PCQ的面積分別為S，求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根據勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，

化簡得：y= （0＜x＜1）

（2）解：tan∠DCQ=1﹣y，tan∠BCP=1﹣x，

tan（∠DCQ+∠BCP）= =1

∵∠DCQ+∠BCP∈（0， ），

∴∠DCQ+∠BCP= ，

∴∠PCQ= ﹣（∠DCQ+∠BCP）= ，（定值）

（3）解：S=1﹣ ﹣ （1﹣x）﹣ （1﹣y）= （x+y﹣xy）=

令t=2﹣x，t∈（1，2），

∴S= （t+ ）﹣1，

∴t= 時，S的最小值為 ﹣1

【解析】（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根據勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2 ， 即可求x，y之間的函數關系式y=f（x）；（2）求得∴∠DCQ+∠BCP= ，即可判斷∠PCQ的大小；（3）表示△PCQ的面積，利用基本不等式求S的最小值．