Question

【題目】如圖，在海岸線一側(cè)處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設(shè)立了兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足中任意兩點(diǎn)間的距離為.公司擬按以下思路運(yùn)作：先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)處(點(diǎn)異于兩點(diǎn))，然后乘同一艘輪游輪前往島．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客處需發(fā)車2輛， 處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)元，游輪每千米耗費(fèi)元．（其中是正常數(shù)）設(shè)∠，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到島所需運(yùn)輸成本為元．

(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；

(2) 問：中轉(zhuǎn)點(diǎn)距離處多遠(yuǎn)時(shí)， 最小？

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）在中，求出相關(guān)的角，利用正弦定理，求出，表示出所需運(yùn)輸成本為元關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）利用函數(shù)表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值.

試題解析：(1) 由題知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.

由正弦定理知，

即CD＝， AD＝，

所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝ (12CD－4AD＋80)a

＝a＋80a ＝a＋60a

(2) S′＝20 ，

令S′＝0得cos α＝

當(dāng)cos α>時(shí)，S′<0； 當(dāng)cos α<時(shí)，S′>0，

所以當(dāng)cos α＝時(shí)，S取得最小值，

此時(shí)sin α＝，AD＝＝5＋，

所以中轉(zhuǎn)點(diǎn)C距A處km時(shí)，運(yùn)輸成本S最小．