Question

給出下列四個命題：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則x＞1；
②若p=a+

1

a-2

（a＞2），q=(

1

2

)x2-2（x∈R），則p＞q，
③已知|

a

|=|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，則

a

+

b

在

a

上的投影為3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

處取得最小值，則f（

3π

2

-x）=-f（x）．
其中正確命題的序號是

 

．（把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則

x＞0 lgx＞0

可求x的范圍②利用基本不等式可求p=a+

1

a-2

=a-2+

1

a-2

+2≥4，而q=(

1

2

)x2-2≤

1

2

-2=4，則可比較p，q的大小③求

a

+

b

與

a

的夾角θ及|

a

+

b

|，根據投影的定義可得，

a

+

b

在

a

上的投影為|

a

+

b

|cosθ，代入可求④由f（x）=asinx-bcosx在x=

π

4

處取得最小值，可得a=-b，代入到函數中可得f（x）=asinx+acosx=

2

sin(x+

π

4

)把f（

3π

2

-x）代入檢驗

解答：解：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則

x＞0 lgx＞0

?x＞1，①正確
②p=a+

1

a-2

=a-2+

1

a-2

+2≥4（a＞2），q=(

1

2

)x2-2≤

1

2

-2=4，則p≥q，②錯誤
③由|

a

|=|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為

π

3

可得

a

+

b

與

a

的夾角為投影為30°，根據投影的定義可得，

a

+

b

在

a

上的投影為
|

a

+

b

|cos30°=2

3

×

3

2

=3，③正確
④f（x）=asinx-bcosx，在x=

π

4

處取得最小值，可得a=-b，則f（x）=asinx+acosx=

2

sin(x+

π

4

)
，f（

3π

2

-x）═

2

sin(

3π

2

-x+

π

4

)=-

2

sin(x+

π

4

)=-f（x），④正確
故答案為：①③④

點評：本題是一道把不等式的性質及利用基本不等式求解最值、向量的夾角及投影的定義的考查、三角函數的性質等知識的綜合運用，此類問題在高考中一般會出現在填空的壓軸題，要求考生能夠熟練的運用所學的知識解決綜合問題．