Question

已知圓M：（x-2）²+（y-3）²=4，過點P（0，t）的直線交圓于不同的兩點A，B，且|PA|=|AB|，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、[-1，7]
• B、（3，7]
• C、[3-2

  2

  ，3）∪（3，3+2

  2

  ]
• D、[3-4

  2

  ，3）∪（3，3+4

  2

  ]

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：計算題,直線與圓

分析：由圓M：（x-2）²+（y-3）²=4，可得圓心M（2，3），r=2．根據割線定理可得|PA|•|PB|=（|PM|+r）（|PM|-r）=|PM|²-4，再利用|PA|=|AB|≤2r，|PM|²=2²+（3-t）²，即可得出．

解答： 解：由圓M：（x-2）²+（y-3）²=4，可得圓心M（2，3），r=2．
根據割線定理可得|PA|•|PB|=（|PM|+r）（|PM|-r）=|PM|²-4，
∵|PA|=|AB|，|PM|²=2²+（3-t）²，
∴2|AB|²=2²+（3-t）²-4，
化為（3-t）²=2|AB|²，
∵|AB|≤2r=4，
∴（3-t）²≤2×4²=32，
解得3-4

2

≤t≤3+4

2

，
又t≠3，
∴3-4

2

≤t≤3+4

2

且t≠3．
故選D．

點評：本題考查了圓的標準方程及其性質、中點坐標公式、切割線定理、不等式的解法等基礎知識與基本方法，屬于難題．